三角形内切圆半径公式怎么推（需要用到哪四个公式）

直角三角形的内切圆半径r=ab/(a+b+根号(a^2+b^2))，其中a，b是直角三角形的两条直角边。你知道这个公式是怎么来的吗？

这里至少关联到四个公式：

第一个是勾股定理的公式，直角三角形的斜边c的平方等于两条直角边a和b的平方和，即c^2=a^2+b^2，从而有c=根号(a^2+b^2)。

第二个是直角三角形的周长公式，直角三角形的周长C等于三边的和，即C=a+b+c=a+b+根号(a^2+b^2).

第三个是我们常用的直角三角形面积公式，直角三角形的面积S等于两条直角边的积的一半，即S=ab/2。

第四个公式平时我们用得少，是具有内切圆的多边形的面积公式，因为三角形一定有内切圆，所以直角三角形的面积公式也适且这个公式。

它就是直角三角形的面积S等于周长C与内切圆半径r的积的一半，即S=Cr/2. 这个公式的证明也是比较有趣的，有兴趣可以自己动手试试看。

不难发现，第三个公式和第四个公式可以通过等量替换得到ab=Cr，因此r=ab/C，代入第二个公式，就可以得到直角三角形的内切圆半径公式：r=ab/(a+b+根号(a^2+b^2)).

如果要把这个公式死记硬背下来，肯定是很难的，如果能够理解，就有可能把它记下来，而且同时还可以学会并记熟推出这个公式的另外四个公式。

不要小看这个公式，在中考甚至是高考这样的大考中，一旦可以运用到，就能大大地减少运算量和节省解题的时间。

另外对于特殊的直角形，两个三角尺三角形，这个公式就可以化成比较简单的形式，比如对于含有30度角的直角三角形，设较短的直角边为a，则较长的直角边为a倍根号3，斜边就是2a，周长为(3+根号3)a。

所以内切圆的半径r=a^2根号3/((3+根号3)a)=(根号3-1)a/2，即内切圆半径是较短的直角边的(根号3-1)/2倍。

而等腰直角三角形的直角边a=b，斜边c=a倍根号2，所以周长为(2+根号2)a，所以内切圆的半径r=a^2/((2+根号2)a)=(2-根号2)a/2，即内切圆半径是直角边的(2-根号2)/2倍。

并且我们可以由r=ab/(a+b+根号(a^2+b^2))<=(2-根号2)根号(ab)/2，知道当a=b时，半径r=(2-根号2)/2倍最长，即在一条直角边不变时，等腰直角三角形的内切圆半径最长。