截长补短法（中考数学压轴题分析：截长补短）

取长补短(中考数学压轴题解析:取长补短)

【中考真题】

(2020安徽)如图1所示，已知四边形ABCD为矩形，点E在BA的延长线上，AE = AD。EC与BD相交于g点，与AD相交于F点，AF = AB。

(1)验证:BD⊥EC；

(2)若AB = 1，求AE的长度；

(3)如图2所示，连接AG，验证:如﹣ DG = √ 2ag。

【解析】本题最后一题需要证明EG﹣DG=√2AG.结论包含线段的和差相等关系，容易与取长补短的方法联想在一起。

三个辅助线技能——优势互补。

既然√2又出现了，就考虑构造一个等腰直角三角形。

取线段EG上的一点P，使EP = DG，证明△AEP≔△ADG(SAS)，得到AP = Ag，∠ EAP = ∠ DAG，证明△ AP=AG是等腰直角三角形，得出结论。

当然，如果将△AFG顺时针旋转90°也可以得到结论。

【答案】解法:(1)∵四边形ABCD为矩形，E点在BA的延长线上，

∴∠EAF=∠DAB=90，

AE = AD，AF = AB，

∴△AEF≌△ADB(SAS)，

∴∠AEF=∠ADB，

∴∠GEB+∠GBE=∠ADB+∠ABD=90，

即∠ egb = 90，

因此BD⊥EC，

(2)∵四边形ABCD是矩形，

∴AE∥CD，

∴∠AEF=∠DCF,∠EAF=∠CDF，

∴△AEF∽△DCF，

∴AE/DC=AF/DF，

AE DF = AF DC，

设AE = AD = A (A > 0)，则A (A ﹣ 1) = 1，简化为A2 ﹣ A ﹣ 1 = 0

得到a=(1+√5)/2或(1-√5)/2(截断)，

∴AE=(1+√5)/2.

(3)如图，取线段EG上的一点P，使EP = DG，

在△AEP和△ADG，AE = AD，∠ AEP = ∠ ADG，EP = DG，

∴△AEP≌△ADG(SAS)，

∴AP=AG,∠EAP=∠DAG，

∴∠pag=∠pad+∠dag=∠pad+∠eap=∠dae=90，

∴△PAG是一个等腰直角三角形，

∴EG﹣DG=EG﹣EP=PG=√2AG.